変な関数。#メモDec

※これはメモ程度に書き記したものです。数学に興味がなければ読むだけ時間の無駄になるので今すぐ閉じることをお勧めします。

こないだ面白い話を見かけた。
Volterra’s functionという関数があるのだが，この関数は変わった関数で，

• どこでも微分ができる(differentiable everywhere)
• 導関数が有界(The derivative is bounded everywhere)

であるにもかかわらず，

• 積分しても元の関数に戻らない

という性質を持っている。つまり，中高(場合によっては大)で触れてきた関数とは違う関数なのである。
積分しても元の関数に戻らない理由は，微分して得られる導関数がリーマン可積分でない(The derivative is not Riemann-integrable)からである。

日本の一般的な中高生は，「積分とは微分の逆の操作」と教わり，微分したものを積分すると(積分定数を適切に決めれば)元の関数に戻るということを知っている。
しかし，その「常識」に従わない関数が存在する。それが冒頭に出したVolterra’s functionである。
色々眺めていたものの，日本語の資料に乏しい。
関連事項についてざっくり分かりやすく扱っていたのはこの記事くらい。

時間のあるときにもう少し掘ってみたい関数でした。